Mathematicians Begin to Understand OpenAI's Navier-Stokes Millennium Prize Proof

9月8日，OpenAI扔出一份证明，宣称攻克了纳维－斯托克斯这道千禧难题。

10月26日，数学家Scott Armstrong在X上发了一条长推。

据他转述，几组正在研究这份证明的偏微分方程专家，已经基本读懂了其中的思路。

他的评价是：

它也许超出了人类原本能想到的范围，但没有超出人类的理解。

Armstrong是法国国家科学研究中心研究主任，也是纽约大学库朗研究所数学教授。

OpenAI用一个尚未发布的新模型，调动约1万个智能体同时攻关。

88小时里，它们来回发了约270万条消息，生成约1300亿个token。

又过了17小时，GPT-6 Astra把证明翻译成Lean语言，交给机器逐行检查。

这份震动数学圈的作业，光算力账单就以百万美元计。

证明交出来了，可几乎没人读得动。

10月14日，Nature旗下期刊《通讯-物理》（Communications Physics）刊发社论。

《通讯-物理》社论：方程爆炸了，飞机照飞。

作者写道：专家们相信它是对的，但还没人真正理解它。

一位名叫Joel Fish的网友认为，这个结果「合情合理」。

在他看来，模型本就学过海量文献。

他还估算，OpenAI为此花了约1500万美元算力。

这笔钱拿去请数学家专心做研究，未必做不出来。

Armstrong想在讨论串里回复，却发现自己被一位网友拉黑了。

他干脆引用转发，甩出一长段回击。

结尾一句很不客气：谁说这个结果不意外，谁就是在胡说。

液体的黏性则一直在踩刹车，把漩涡的劲儿慢慢耗掉，变成热量。

一边是拉伸在踩油门，一边是黏性在踩刹车。

近百年来，数学家一直在问一个问题：

拉伸能不能赢过刹车，让速度在有限时间里冲向无穷大？

中心的漩涡越缩越小，速度越来越快，最终冲向无穷大。

就像针尖上的一滴水，转得再快，分量也就那么一丁点。

涡旋内核逐步收缩，长宽比例经夸张处理。

难点在于，这股外力必须始终温和，不能有任何突然的猛推。

要是推力本身就是无穷大，水跟着「爆炸」也就不稀奇了。

那等于往杯子里扔一个鞭炮，再说咖啡自己炸了。

麻烦就出在这里。

单纯画一个不断收缩的漩涡，代入方程一算，要维持它，所需的外力也会冲向无穷大。

怎么办？

论文的办法是加入一串有节奏的小波动（振荡脉冲）。

这些小波动推动水流（动量输运），正好抵消掉那股快要失控的力。

剩下的小偏差，再一点点修补干净。

听起来像打补丁，于是问题来了：这些补丁（振荡）从哪来？

在OpenAI之前，数学家们已经试过几条路。

第一条路，叫「凸积分」。

数学家亲手搭出一层层细小的振荡，造出一些古怪的解，比如水流凭空出现能量。

第二条路，来自Albritton、Brué和Colombo三位数学家。

他们借助一个不稳定的漩涡，让水流从一模一样的起点出发，走出两种完全不同的结局。

第三条路，来自西班牙数学家Córdoba和Martínez-Zoroa。他们靠不断拉扯，让漩涡的旋转一级级放大。

但《科学美国人》采访的多组专家都说，细看之下，方法并不相同。

Armstrong点破了关键：AI的证明，跟凸积分最像。

区别在于，凸积分的振荡靠人手工去造。

它设计了一种流体不稳定性，让水流随时可能「失稳」。

相邻的水层一快一慢，就像风吹过水面会掀起波纹。

这种速度差，会自发长出小波动。

上下两层气流一快一慢，把云层卷成了一排浪花，这就是「速度差产生波动」。（图源：UCAR）

小波动产生的推力，再反过来推着中心的漩涡越缩越紧。

以前是数学家亲手搅水，可这次，是让水自己搅自己。

在Armstrong看来，用流体自己的不稳定性来「造力」，此前没有先例。

Armstrong坦言，其中一些想法，1983年的文献里就出现过。

可把它们这样组合起来，「绝对疯狂」，文献里从没有过。

他也没听说有谁想过，凸积分能用来造出这样的爆破解。

9月下旬，复旦大学数学家雷震与合作者Xiao Ren发布了一篇解读预印本。

他们把OpenAI原稿中构造流动轮廓的部分重写了一遍，力求让同行读得懂。

他们在文中称，OpenAI的工作是纳维－斯托克斯千禧难题上的一项重大进展。

不过，读懂思路只是第一步。

另一项工作，是检查论文原文和Lean版本是否对得上。

Lean是一种证明助手。

把数学命题和推导写成形式语言后，它能检查每一步推理是否成立。

可机器只检查它收到的东西。

就像核对译稿：译文通顺，还得看它有没有改掉原意。

10月6日，Bastounis、Circelli和Hansen三位研究者发表预印本，指出原稿与Lean版本中的部分陈述和推导存在差异。

他们同时声明，自己没有判断OpenAI的文字证明是否正确。

所以，这项质疑不能简化成「证明被推翻」。

它要求把一件事查清楚：机器验证过的内容，究竟能为原稿的哪些结论提供保证？

机器能保证每一步没算错。但它保证不了题目没抄错。

截至目前，克雷研究所仍把这道题列为「Active」「进行中」。

克雷研究所列出的四种命题，证出其中任意一个就算解答。

OpenAI声称完成的，正是允许平滑外力的两种。

无外力的情形，是下一个新目标。

按照Constantin等人新论文的分析，这套构造不能直接推广到无外力情形。

要攻下它，恐怕还得有全新的想法。

眼下，人类还有三份作业要交。

第一份，完整、好读的讲解，让同行不用从头去猜每一步的意图；

第二份，逐条核查和对照说明，讲清哪些已经查过，哪些还要解释；

第三份，把其中的方法提炼出来，用到别的问题上。

AI这一棒的账很好算：88小时，1万个智能体，数百万美元。

人类接棒后的账，却很难算：读懂、核查、讲清楚，每一步都需要专家投入时间。

从9月8日的公告到今天，七周过去，一些数学家开始读懂其中的思路。

接下来，他们还要把这份证明变成下一位研究者能接着用的知识。

千禧难题的下半场，主要考的是人类。

参考资料：

本文来自微信公众号“新智元”（ID：AI_era），作者：元宇，36氪经授权发布。